Jon Mañueco Rubio

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¿Cómo es que hace más de dos mil años un  matemático griego demostró que si intentaras meter en una bolsa todos los números primos no sólo no existiría una bolsa suficientemente grande como para que cupiesen todos, sino que además te morirías de aburrimiento (y no de aburrimiento) antes de acabar de agruparlos? 

Pero antes de empezar: ¿qué es un número primo? Un número primo es aquel número que solo puede ser dividido por sí mismo y por la unidad (de manera que si probaras a dividir este número por cualquier otro no te daría daría resto cero). Otra forma de verlo es que los números primos son de gente un poco golosa, ya que si un niño llevara a su colegio un número primo de chuches para repartir entre sus compañeros (suponiendo que el número de golosinas es mayor que el de amigos), lo único que podría hacer sería darle las mismas chuches a todos sus amigos y quedarse él con la diferencia (es una buena táctica si tus padres no te compran chuches de forma habitual). 

Por otro lado, en matemáticas, existe un teorema (El Teorema Fundamental De la Aritmética) que nos dice que todo número natural mayor que 1 se puede expresar como producto de números primos. Aunque te pueda sonar un tanto indescifrable este enunciado, su traducción al castellano es equivalente a los ejercicios de ‘descomponer en factores primos’ que tuviste que hacer en las matemáticas de primero y segundo de la E.S.O. Un ejemplo que puede ilustrar este teorema es el siguiente: escoge un número desde 2 hasta el 10, puedes observar que los únicos primos de este conjunto son 2,3,5 y 7 ya que el resto de números se pueden expresar como el producto de los anteriores (4=2*2; 6=3*2; 8=2*2*2; 9=3*3 y 10=2*5), y sin embargo ellos no (2=2*1; 3=3*1; 5=5*1 y 7=7*1). Es decir, que si tú escoges un número natural al azar y lo divides por todos los naturales menores que él, y ninguna división te da resto 0 antes de llegar al 1, ¡enhorabuena, has encontrado un primo! 

Euclides, que era un señor al que le encantaban estos cardinales por lo curiosos y fascinantes que son, un buen día se preguntó: ¿el conjunto de los números primos es finito? O lo que es equivalente: ¿podría yo encontrar una bolsa lo suficientemente grande para meter todos los números primos dentro? Él podría haberse quedado con la duda o podría haber hecho lo que hizo: demostrar que hay infinitos números primos.

Para ello utilizó un método conocido como la ‘reducción al absurdo’, que consiste en que si quieres demostrar que algo es cierto, supones que eso mismo es falso, y, si llegas a una contradicción, es que eso que intentas probar es verdadero. Por ejemplo, si quieres demostrar que no todos los perros son verdes, puedes suponer que todos los perros son verdes, y, si al salir a la calle ves a un perro que no es verde has hallado una contradicción, por lo tanto no todos los perros son verdes. 

Este mismo concepto fue el que aplicó Euclides y, aunque utilizó una demostración ligeramente diferente a la que aquí se ofrece, los resultados de ambas son equivalentes. Si se supone que el conjunto de todos los números primos es finito (es decir, que podrías encontrar una bolsa suficientemente grande para meterlos todos), entonces ese conjunto se podría expresar como P={p_1, p_2,…; p_n}, donde p_1=2; p_2=3; p_3=5, y p_n el número primo más grande (evidentemente esto implica que habría n números primos). A continuación, uno se debe preguntar qué pasaría con el número que se obtiene multiplicando todos los primos de la bolsa y sumándole 1, lo que se expresa como R=(p_1*p_2*…*p_n) +1, y observa que este número no es divisible por ninguno de los primos de la bolsa P, ya que al dividir R por p_i con i=1, 2, …, n; se obtenía resto 1 (ej.: 2*3+1=7; y el resto de dividir 7 entre 2, 3 y entre 2*3 es 1). 

Siguiendo la lógica del Tma. Fdtal. De la Aritmética que hemos visto antes, este número R se tendría que poder expresar como el producto de números primos, pero R no se puede escribir como una multiplicación de los primos de la bolsa P (ya que hemos visto que el resto de dividir R entre los elementos de P da 1, además, si multiplicas todos los números primos que desees y divides R entre ese producto te sigue dando resto 1), por lo que R debe de ser un nuevo número primo. Pero existe una contradicción en esta secuencia lógica, ya que se había supuesto que en la bolsa de los números primos solo había n elementos, donde debería de haber n+1 (los elementos de P, y R). Con esta demostración, Euclides halló una forma de crear infinitos números primos a partir de aquellos que ya conocía. No orgulloso con su hallazgo, Euclides se preguntó si su fórmula serviría para encontrar TODOS los números primos que hay. Rápidamente se dio cuenta de que no, ya que si escogía los dos primeros números primos de la bolsa (el 2 y el 3) y aplicaba su fórmula: p_3= (p_1*p_2)+1= 2*3+1=7, el resultado que obtenía era 7, que es el cuarto número primo, y no el tercero (que es el 5). En cambio, encontró lo que se conocen como los números de Euclides, que se obtienen sustituyendo en la recurrencia utilizada para encontrar R la cantidad de números primos conocidos elevados a las potencias elegidas que se desee.

Euclides fue un hombre excepcional que estableció los pilares fundamentales de las matemáticas que hoy día se siguen explicando a los alumnos universitarios, y plasmó estos conocimientos en sus obras; la más destacada fue ‘Elementos’. Sin embargo, murió sin encontrar esa fórmula (en el sentido polinómico de la palabra) que le garantizase encontrar todos y cada uno de estos números tan especiales. De hecho, aunque hay computadores que se dedican a encontrar estos cardinales, nadie ha sido capaz de resolver el enigma que envuelve a estos números tan golosos.