En 1993, con una recién estrenada película de ciencia ficción en la gran pantalla, Parque Jurásico, los espectadores disfrutaban de una escena también ya icónica: el matemático Ian Malcolm se ayudaba de un vaso de agua para explicar a la doctora Elie Satler el efecto mariposa: “una mariposa bate las alas en Tokio, y en Nueva York llueve en vez de hacer sol”.
El experimento que muestra la secuencia, y que todo el mundo puede llevar a cabo en casa, es hacia dónde se mueve una gota de agua cuando la depositamos sobre el dorso de la mano. A pesar de que la coloquemos inicialmente siempre en el mismo punto, la gota parece acabar en lugares totalmente distintos cada vez.
Por otro lado, en los últimos meses, a pesar de que estas ideas llevan circulando años, una cierta histeria comunicativa a propósito del cambio climático ha llevado a la prensa a publicitar “experimentos” que pretenden solucionar este problema, como difundir metales pulverizados en el aire para evitar que llegue tanta luz a la superficie y así reducir el efecto invernadero (si llega menos luz a la Tierra, menos luz se quedará atrapada gracias al efecto invernadero).
Para acabar, mi madre, a la que cito sin permiso, exponía en la pasada sobremesa dominical lo estúpido que parecía el siguiente experimento, que está siendo llevado a cabo actualmente en Florida: para eliminar una gran parte de la población de mosquitos, cuyas hembras son transmisoras de enfermedades varias, una empresa había introducido unos 150000 machos de estos insectos modificados genéticamente: al aparearse, si su progenie era hembra, moría inmediatamente debido a la modificación. De esta forma, tras varias generaciones, la población hembra sería prácticamente nula y la transmisión de enfermedades acabaría. El argumento de mi madre era el siguiente: si las hembras se acaban, también lo harán los mosquitos; si desaparecen estos insectos, ¿alguien prevé que sucederá con la cadena trófica del ecosistema?
¿Qué tiene que ver Ian Malcolm, el cambio climático y los mosquitos modificados genéticamente? La respuesta radica en una rama de las matemáticas conocida como Sistemas Dinámicos; en particular, las conclusiones que se derivan de la Teoría del Caos.
Sistemas dinámicos
El proceder de las disciplinas científicas, especialmente aquellas que hacen uso de las matemáticas para describir la realidad, es siempre muy similar: dado un determinado fenómeno, se establece un modelo que permita describir y predecir en el futuro dicho fenómeno. Un breve ejemplo de actualidad: los modelos epidemiológicos utilizan una formulación matemática para describir la propagación de un virus en una población a lo largo del tiempo.
La cuestión de la modelización matemática de la realidad es todo un tema aparte de implicaciones filosóficas enormes (¿qué es la realidad ?), que dejaremos para otro día. Por hoy, definiremos un modelo como una serie de relaciones entre variables de interés. Dichas relaciones se establecen en forma matemática a través de ecuaciones, generalmente del tipo diferencial. Paso a paso:
- Una variable es un elemento de interés para el científico: puede ser el número de infectados por una pandemia, el tiempo, una longitud, la velocidad o magnitudes u objetos matemáticos más abstractos, como el campo gravitatorio.
- Una ecuación es una igualdad entre variables y otros objetos matemáticos, como números o en este caso, funciones. Que sean diferenciales implica que en vez de sobre sumas y restas, estas ecuaciones se construyen sobre derivadas: una derivada es una operación matemática que describe la tasa de variación de una cierta magnitud (por ejemplo, el número de infectados) con respecto a otra variable (como el tiempo).
Un sistema dinámico es equivalente a un modelo como los descritos aquí. Es un concepto general que aplica a toda realidad descriptible mediante matemáticas, y en particular mediante funciones y otros objetos del análisis, el cálculo y la geometría diferencial (ramas todas ellas de la Reina de las ciencias). El objetivo de plantear sistemas dinámicos es resolverlos, despejar las incógnitas o variables, para así predecir su evolución en el tiempo o con respecto a otras variables. Esto es tremendamente útil: podemos predecir cómo crecerá un tumor, enviar cohetes a la Luna o saber si mañana lloverá o hará Sol en Madrid.
Teoría del Caos
A finales del siglo XIX, Henri Poincaré, en su estudio del problema de los tres cuerpos (la evolución de un sistema de tres masas sujetas a la atracción gravitatoria entre ellas, como el Sol, Júpiter y la Tierra), sentó las bases de la Teoría de Sistemas Dinámicos y aventuró la existencia de sistemas caóticos. El problema de los tres cuerpos es, sin duda, uno de los problemas matemáticos más bonitos hasta la fecha. A día de hoy, sigue sin resolverse; fue uno de los primeros sistemas dinámicos que parecen no tener solución cerrada, es “indespejable”. Esto significa que no hay pizarras, ni papel ni tinta, ni habrá jamás, para poder escribir la fórmula que describe el movimiento en el tiempo de las tres masas. Además, las trayectorias que parecen seguir los cuerpos son muy erráticas y enormemente distintas a las del problema de los dos cuerpos: rara vez encontramos órbitas cerradas, como las que siguen los satélites alrededor de la Tierra. Era la primera vez que se veía algo así, lo que parecía ir en contra del determinismo científico que regía el resto de modelos físicos.
El trabajo de Poincaré quedó en el olvido hasta mediados de los 50, con la llegada del ordenador. Dado que para muchos sistemas dinámicos no había solución analítica, no fue hasta la llegada de la computación que pudieron extraerse conclusiones acerca de ellos: los ordenadores permitían hacer los cálculos necesarios mucho más rápido que de manera manual, que hasta entonces podían llevar días y semanas.
En 1963, Edward Lorenz, matemático y meteorólogo, estudiando la evolución térmica de la atmósfera mediante un modelo muy sencillo, de tres ecuaciones y tres incógnitas, llegó a conclusiones muy extrañas. Sus experimentos consistían en lo siguiente: por la mañana, simulaba en el ordenador como evolucionaba la atmósfera a lo largo del tiempo; a la mañana siguiente, repetía el mismo proceso. Lo extraño era que, a pesar de que introdujera las mismas condiciones iniciales (dejaba la gota de agua en el mismo lugar de la mano), la atmósfera parecía evolucionar de forma totalmente distinta cada día (la gota acaba en lugares distintos). ¡El sistema de Lorenz era un sistema caótico! A pesar de que el modelo era bastante poco representativo del comportamiento real atmosférico, demostraba que ecuaciones muy sencillas podían llevar a comportamientos muy complejos.
¿Pero qué es exactamente un sistema caótico? A pesar de que no existe una definición oficial, esto modelos poseen siempre tres características fundamentales:
- A pesar de que no lo parezca, es determinista. Se puede predecir con precisión milimétrica la evolución del sistema, aunque este parezca muy irregular. No obstante, debido a la segunda de sus características, es imposible predecir el estado del sistema a partir de un cierto tiempo, denominado tiempo de horizonte. Este momento límite no depende de la capacidad de computación del ordenador que utilicemos, sino de la sensibilidad del sistema que estudiemos. Esta es la razón por la que el tiempo meteorológico no puede predecirse con seguridad a unos días vista.
- Presenta sensibilidad antes las condiciones iniciales. La irregularidad de comportamiento se debe a que diferencias ínfimas en el estado inicial del sistema lleva a que el comportamiento global sea totalmente distinto. Técnicamente, decimos que las trayectorias (o evoluciones) del sistema divergen exponencialmente entre sí: la distancia entre ellas tiende a crecer de forma muy rápida aunque empezarán infinitamente cerca. El tiempo de horizonte se define precisamente como el tiempo a partir del cual esta distancia supera una cierta longitud dada.
La temperatura de la mano, que cambia unas milésimas de grado entre experimento y experimento, acaba por afectar dónde acaba la gota. En el caso de la atmósfera de Lorenz, coger más o menos decimales en las condiciones iniciales hace que llueva aquí o en Malasia. Para el Sistema Solar, no se sabe si algún día todo explotará y chocaremos con la Luna porque un cometa pase demasiado cerca del Sol.
- La evolución del sistema no converge hacia un estado repetitivo o cuasi-repetitivo, sino que se mantiene irregular, en ausencia de patrón reconocible. El sistema no tiene órbitas (el nombre técnico para evolución) periódicas ni cuasiperiódicas.
Efectivamente, teóricamente, el aleteo de una mariposa en Japón podría provocar un tornado en Texas: la atmósfera y el clima son sistemas dinámicos muy complejos que muestran comportamiento caótico. Nada quiero decir de introducir oro en la atmósfera para reflejar más el Sol. A pesar de ello, el clima es un claro ejemplo de sistema determinista: ¡la gente del tiempo estaría en el paro de no ser así! Las consecuencias de modificar o hacer desaparecer una especie de un ecosistema pueden amplificarse enormemente, porque la dinámica de poblaciones es otro ejemplo clásico de sistema caótico.
Lo mejor de la Teoría de Sistemas Dinámicos y del Caos, lejos de sus implicaciones sobre futuros apocalípticos, son dos cosas: a) nos enseña una valiosa lección acerca de tomar según qué decisiones respecto a la naturaleza, pues sus efectos suelen ser enormes y a primera vista imprevisibles, porque los modelos que tenemos para observar su evolución son imperfectos; b) como la mayoría de los sistemas caóticos no suelen poder resolverse analíticamente, mediante fórmulas, se utilizan un gran cantidad de estrategias geométricas, gráficas y artísticas para analizarlos, lo que nos regala horas de simulaciones visualmente muy satisfactorias.
A continuación dejo el enlace a una simulación de un péndulo doble, otro sistema caótico clásico. En ella, se simulan a la vez varios péndulos cuya masa se diferencia en dos gramos entre cada una. A pesar de que el comportamiento de todos ellos es igual al principio, rápidamente cada uno se diferencia del resto y sigue su propia evolución, totalmente única y distinta. Caos en acción.
Bonus track: atractores extraños
En algunas ocasiones, un sistema, independientemente de cómo empieza, acaba convergiendo, asentándose, sobre una evolución bien definida: por ejemplo, un skater en un medio tubo, tiende a terminar parado en el centro de este. Se dice entonces que el sistema posee un atractor: una evolución a la que cualquier condición inicial acaba atraída.
En sistemas caóticos, los atractores se denominan extraños por sus propiedades matemáticas un tanto peculiares. La más importante o característica es que son estructuras fractales, que además de ser muy interesantes matemáticamente, son preciosas visualmente.
El efecto mariposa debe a su nombre a tres casualidades: a un relato de Ray Bradbury, El sonido del trueno, en el que se propone los efectos del aleteo de una mariposa sobre la parte opuesta del globo; al nombre de una conferencia del propio Lorenz, titulada ¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?; y precisamente, al atractor extraño de Lorenz, que tiene, precisamente, forma de mariposa.
A continuación dejo un vídeo que recoge unos pocos de estos objetos. Merecen la pena los 7 minutos de simulación, prometido.
En El Vértice 