Después de dedicarme durante un par de años al mundo espacial, las dos preguntas más frecuentes que me encuentro al respecto son: “¿Qué es una órbita?” ,“¿Cómo se propulsan los satélites?” o “¿Por qué no se caen los satélites?” A pesar de que una gran parte de la población ha estudiado el Problema de los Dos Cuerpos en cursos de Física elemental, también la mayor parte no lo recuerda o no lo terminó de asimilar. Yo mismo lo odiaba en 2º de Bachillerato: nada de gravedad ni de mecánica en mi vida. Curiosamente, todo parece indicar que dedicaré mis próximos años a ambas disciplinas. Ahora son mis favoritas.

El problema gravitatorio, que explica el movimiento de los cuerpos bajo la acción de una fuerza que llamamos gravedad, es tremendamente complicado físicamente. Para comprenderlo intuitivamente, la gente que se dedica a la Astrodinámica plantea modelos matemáticos que permiten explicar (aproximadamente, siempre con un cierto error) lo que observamos en la cúpula celeste.  La mayor parte de estos modelos no tienen solución (literalmente, no pueden resolverse con fórmulas) y solo proponen soluciones que llamamos numéricas (tablas de números, que indican las efemérides de un determinado cuerpo, como velocidad y posición o tiempo).

De entre todos los modelos, el más sencillo y probablemente utilizado es el Problema de los Dos Cuerpos (de ahora en adelante, por sus siglas en inglés, 2BP), que data de los días de Johannes Kepler  e Isaac Newton. El 2BP propone la solución analítica (en términos de fórmulas sencillas) al movimiento de un satélite alrededor de un cuerpo masivo, como un planeta. Las trayectorias de cualquier satélite terrestre o de viaje a Marte se plantean (al menos inicialmente) como un 2BP.

Matemáticas

El enunciado de las Leyes de Kepler, como ya vimos, fomentó el enunciado de la Ley de la Gravitación Universal. Precisamente, en el 2BP, el satélite es aislado teóricamente de cualquier otra fuerza ajena al cuerpo central, que lo atrae gravitatoriamente, y su movimiento responde a dicha Ley. Ambos cuerpos se asumen como masas puntuales o esferas perfectas, de densidad constante (lo cuál es mucho decir para planetas como la Tierra o Marte). Aunque la fuerza ejercida por el planeta sobre el satélite es igual a la ejercida por el satélite sobre el planeta (ley de acción y reacción de Newton), sólo se analiza el movimiento del satélite respecto al planeta, aunque también podría hablarse de órbitas de la Tierra alrededor de tal o cuál satélite o mismamente del Sol alrededor de la Tierra. Este segundo planteamiento encaja perfectamente con las teorías que sitúan a la Tierra en el centro del universo. Sin embargo, el movimiento planetario se vuelve algo más complejo, generando unas trayectorias denominadas epicicloides. Cuestión de perspectiva.

La solución

Cuando se aprende a resolver ecuaciones, a despejar, en realidad se tratan problemas que se denominan algebraicos, en los que existe o no solución que es en realidad un escalar, un número. Sin embargo, en los problemas de Mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos, se resuelven, se despejan funciones matemáticas. Una función matemática es una expresión, una fórmula, que relaciona una variable independiente (como el tiempo) con una dependiente de esta primera (como la posición, que cambia efectivamente con el tiempo). Las ecuaciones a despejar en el 2BP se denominan ecuaciones diferenciales, porque involucran una determinada función y su evolución (su derivada) con respecto a una o varias variables independientes. La Ley de la Gravitación Universal responde precisamente a este tipo de ecuaciones. 

Ley de la gravitación universal como ODE

La solución del 2BP es analítica, aunque generalmente se describe de forma geométrica y no como función temporal. Se puede demostrar matemáticamente que cualquier trayectoria de un satélite en el 2BP es una curva cónica plana: una elipse, una parábola o una hipérbola, y lo único importante es encontrar al satélite en dicha curva. Estas soluciones son lo que denominamos órbitas. Para poder mantenerse en dicha curva (en realidad, para que sea posible dicho movimiento), el satélite debe poseer una determinada velocidad a una determinada altitud. La combinación de ambos genera una situación que técnicamente es una caída perpetúa, en la que la gravedad curva una trayectoria que de otra forma sería rectilínea. Sin embargo, el satélite va lo suficientemente rápido (con una velocidad mayor a la característica de escape del planeta) para que dicha caída nunca llegue a producirse. Así de sencillo: no se necesitan motores para completar ninguna órbita, se trata de un movimiento continuo y sin interrupción (en el marco teórico) únicamente influido por la gravedad.

Magnitudes conservadas

Lo más bonito del 2BP es que cualquier órbita puede describirse mediante magnitudes conservadas, asociadas a simetrías matemáticas del movimiento orbital. Existen seis de estas magnitudes, que llamamos elementos orbitales, y que reemplazan totalmente a las efemérides del cuerpo (que son seis también, tres coordenadas de posición y tres de velocidad). Describen la forma de la órbita, su orientación como objeto geométrico en el espacio respecto al planeta central y la posición en el tiempo del satélite a lo largo de la órbita. En definitiva, sitúan al satélite en cualquier instante de tiempo en el espacio. Se puede demostrar que los elementos orbitales pueden derivarse de la energía del satélite, que decimos que parametriza el espacio o conjuntos de soluciones. La única diferencia real entre una hipérbola o una elipse orbital es la energía del satélite. Además, los elementos orbitales son la versión formal, matemática, de las tres leyes de Kepler: los cuerpos se mueven en órbitas elípticas, cuyo período es proporcional a la masa del cuerpo que orbitan, y barren áreas iguales en tiempos iguales.

Estas seis magnitudes conservadas derivan de la simetría rotacional del problema (que ya exploramos en el artículo anterior), de la simetría temporal o conservación de la energía (da igual observar el problema hacia adelante o hacia atrás en el tiempo) y de una simetría algo más abstracta, que convierte a cualquier órbita en un círculo de 3 dimensiones en una esfera de 4. En este espacio tetradimensional, orbitar un planeta no es sino oscilar, vibrar como un muelle en una dirección concreta.

La existencia de estos elementos orbitales es muy particular y no suele producirse en ningún modelo gravitatorio, porque las simetrías del problema se rompen cuando incluimos fuerzas adicionales: empieza a importar desde qué ángulo se analiza el movimiento o si el problema se estudia hacia atrás en el tiempo o no.

El problema perturbado

El 2BP es una aproximación inicial muy buena para lo que sucede en entornos cercanos a un planeta, pero no es la realidad. Se trata tan sólo de una situación idealizada que proporciona una buena idea de cómo se mueven los cuerpos en el campo gravitatorio del planeta. Sin embargo, para misiones reales (como llevar astronautas al espacio), es necesario un nivel de precisión mayor. Se utilizan entonces modelos perturbados, que incorporan influencias externas no consideradas inicialmente.

Para órbitas de baja altitud, por ejemplo, la atmósfera terrestre genera un rozamiento aerodinámico que va reduciendo paulatinamente la altitud orbital, hasta hacer reentrar al satélite, que acaba ardiendo en las capas bajas de la atmósfera. Dicho rozamiento aerodinámico es una fuerza como otra cualquiera, cuya influencia es decisiva en el largo plazo y que el 2BP inicial no tenía en cuenta. Más interesante aún, en ocasiones es necesario introducir el efecto que tiene la luz del Sol sobre el satélite, que lo presiona, lo empuja. Este empuje minúsculo puede tener un efecto considerable en misiones donde se necesite gran precisión en el conocimiento de la órbita real del satélite. Lo mismo sucede con la gravedad del Sol o la Luna, que también modifica la elipse prevista del 2BP. El nivel de perturbación que puede modelarse es infinito: generalmente, se tienen en cuenta el movimiento de las placas tectónicas, las mareas, el campo magnético terrestre, la forma de la Tierra (cerca del Himalaya, por ejemplo, la gravedad es mayor)…

Las perturbaciones del 2BP rompen las simetrías del problema y anulan, generalmente, la posibilidad de encontrar cualquier solución analítica. Es necesario recurrir a tablas numéricas de efemérides o a técnicas inteligentes como variación de parámetros: el problema perturbado se fuerza a admitir una solución cónica de forma instantánea, y se modelan las magnitudes conservadas y su evolución en el tiempo bajo la influencia de las fuerzas externas.

Trayectorias interplanetarias

¿Cómo se diseña una trayectoria a Marte? Generalmente, se parte de hasta 3 problemas 2BP. La trayectoria hiperbólica de escape de la Tierra, un tramo denominado heliocéntrico, donde la nave orbita al Sol y la trayectoria hiperbólica de entrada en Marte, con el planeta rojo como cuerpo central. La trayectoria final solo es la unión de las tres fases, con las correspondientes maniobras asociadas. Este proceso de diseño se denomina patched conics, literalmente parcheo de cónicas, puesto que cada fase es una solución cónica o un problema 2BP.

Salvo por las necesarias correcciones de trayectoria, asociadas a errores naturales en el autopiloto de la nave, los motores solo se encienden para unir las tres fases. El resto del tiempo, como hemos visto, el satélite se mueve solo bajo la influencia de la gravedad (despreciando perturbaciones adicionales), aprovechándose de ella.

De hecho, es muy habitual utilizar fases adicionales alrededor de planetas para obtener  una aceleración de forma gratuita y llegar así a zonas más lejanas del Sistema Solar. Esta técnica se conoce como fly-by o maniobra de asistencia gravitatoria: la nave orbita momentáneamente un planeta, que lo acelera en una trayectoria hiperbólica a expensas de perder energía él mismo. Dado el balance de masas entre ambos, dicha pérdida de energía es mínima para el cuerpo celeste, pero determinante para la nave en su viaje. Estas maniobras permiten reducir el combustible a bordo, que puede aprovecharse para llevar más instrumentos científicos o, quién sabe, humanos en un futuro.

El ejemplo de Marte no se ha elegido al azar. Imagino que muchos habrán pensado inmediatamente en el programa Apolo y en viajar a la Luna. En este caso, el método de patched conics no es del todo válido, porque la influencia de la gravedad lunar no es despreciable en la mayor parte del trayecto. Es necesario utilizar modelos más complejos, como el Problema de los Tres Cuerpos, mi favorito, y que merece un artículo puramente dedicado a él.